Dualität und andere geometrische Korrelationen der Platonischen Körper

Aus Symmetriebetrachtungen erschließen sich vielzählige geometrische Korrelationen der Platonischen Körper zueinander.

Hexaeder und Oktaeder sowie Dodekaeder und Ikosaeder besitzen jeweils die gleiche Drehsymmetrie. Dieses gemeinsame Symmetrieverhalten wird als Dualität bezeichnet, man sagt: Die Körper sind zueinander dual.

Eine Darstellung des dualen Körper erhält man aus der Körperdarstellung, indem die Mittelpunkte der Seitenflächen miteinander verbunden werden (Abbildung 1). Beim Tetraeder ergibt sich daraus, dass das Tetraeder zu sich selbst dual ist.

Abbildung 1: Hexaeder und Oktaeder sind duale Körper.

Die Einbeschreibung eines Hexaeders in die Eckpunkte eines Dodekaeders, wobei es hierfür genau fünf ausgezeichnete Lagen gibt (Abbildung 2), hilft bei Symmetrieuntersuchungen nachzuvollziehen, dass es besondere Drehsymmetrieabbildungen am Dodekaeder gibt, die die Hexaeder ineinander abbilden.

Abbildung 2: Es gibt genau fünf ausgezeichnete Lagen eines Hexaeders in einem Dodekaeder. (Abbildung in Anlehnung an Michael Artin: Algebra, S. 227.)

Diese geometrische Betrachtung geht mittelbar auf Felix Klein zurück. Er hat in seinen Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade den Zusammenhang zwischen der Drehsymmetrie des Ikosaeders und der Lösung der Gleichungen fünften Grades hergestellt und bewiesen. Von besonderer Bedeutung sind dabei gerade Drehsymmetrieabbildungen, die anschaulich als Symmetrie der in den Ikosader, dem zum Dodekaeder dualen Körper, einbeschrieben fünf Hexaeder dargestellt werden können.
(siehe auch: Felix Klein: Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade, S.19 f.)

Die Drehsymmetrieabbildungen eines Tetraeders sind Bestandteil der Drehsymmetrieabbildungen eines Hexaeders. Dies wird deutlich, wenn ein Tetraeder in die Eckpunkte des Hexaeders einbeschrieben wird. Zudem lassen sich zwei zueinander duale Tetraeder mit Hilfe des Hexaeders einfach konstruieren (Abbildung 3).

Abbildung 3: Ein Hexaeder bestimmt zwei zueinander duale Tetraeder.