Die Symmetrie der Platonischen Körper

Die Platonischen Körper sind hochsymmetrische geometrische Objekte.

Allein die Drehsymmetrie eines Oktaeders umfasst 24 verschiedene Symmetrieabbildungen (das sind die Drehungen an den Drehsymmetrieachsen, die einen Körper auf sich selbst deckungsgleich abbilden).
Es gibt 3 vierzählige Drehsymmetrieachsen (Abbildung 1, links), 4 dreizählige Drehsymmetrieachsen (Abbildung 1, Mitte) und 6 zweizählige Drehsymmetrieachsen (Abbildung 1, rechts) mit den jeweiligen Drehsymmetrieabbildungen (Drehungen um 90°, um 120° bzw. um 180°).

Abbildung 1: Drehsymmetrieachsen am Oktaeder.

Mit den möglichen symmetrischen Spiegelabbildungen (an Symmetrieebenen, an Drehsymmetrieachsen) sowie der Punktspiegelung am Inversionszentrum ergeben sich für ein Oktaeder insgesamt 48 mögliche Symmetrieabbildungen .

Auch das Hexaeder weist 48 mögliche Symmetrieabbildungen auf: 24 Drehsymmetrieabbildungen und 24 Spiegelsymmetrieabbildungen (Abbildung 2). Am Tetraeder gibt es 24 mögliche Symmetrieabbildungen, am Ikosaeder und Dodekaeder sogar 60 mögliche Symmetrieabbildungen.

Abbildung 2: Eine Symmetrieebene (Spiegelebene) am Hexaeder.

Die Symmetrieabbildungen lassen sich etwa durch Nummerierung der Eckpunkte mit Hilfe von Permutationen vollständig erfassen (Abbildung 3).

	$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 2& 1& 4& 3\end{array}\right)$     $\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 3& 4& 1& 2\end{array}\right)$ $\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 4& 3& 2& 1\end{array}\right)$     $\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 1& 2& 3& 4\end{array}\right)$
Abbildung 3: Die Symmetrieabbildungen der zweizähligen Symmetrieachsen am Tetraeder in Permutationsschreibweise.