Es gibt nur fünf Platonische Körper.

In jedem Eckpunkt eines Platonischen Körpers stoßen die Ecken der regelmäßigen Seitenflächen aneinander. Es müssen mindestens drei Ecken sein. Die Innenwinkel dieser Flächenecken ergeben einen Raumwinkel. Die Winkelsumme der aneinander liegenden Flächenecken muss kleiner sein als 360°, da anderenfalls alle Seitenflächen in einer gemeinsamen Ebene liegen würden und somit kein geschlossener konvexer Körper entsteht (siehe Abbildungen).

Drei Dreiecke ergeben einen Tetraederwinkel.	Vier Dreiecke ergeben einen Oktaederwinkel.	Fünf Dreiecke ergeben einen Ikosaederwinkel.	Sechs Dreiecke ergeben keinen Raumwinkel sondern eine Fläche.

Als artgleiche Kombinationen der Innenwinkel von gleichseitigen Vielecken kommen daher folgende Varianten in Frage:

Regelmäßige (gleichseitige) Dreiecke als Seitenflächen:
      3 Dreiecke in einem Eckpunkt: 3⋅60° Raumwinkelsumme ⇒ 180° < 360° ⇒ Tetraeder
      4 Dreiecke in einem Eckpunkt: 4⋅60° Raumwinkelsumme ⇒ 240° < 360° ⇒ Oktaeder
      5 Dreiecke in einem Eckpunkt: 5⋅60° Raumwinkelsumme ⇒ 300° < 360° ⇒ Ikosaeder
      6 Dreiecke in einem Eckpunkt: 6⋅60° Raumwinkelsumme ⇒ 360° = 360° ⇒ kein Körper

Regelmäßige Vierecke (Quadrate) als Seitenflächen: :
      3 Quadrate in einem Eckpunkt: 3⋅90° Raumwinkelsumme ⇒ 270° < 360° ⇒ Hexaeder
      4 Dreiecke in einem Eckpunkt: 4⋅90° Raumwinkelsumme ⇒ 360° = 360° ⇒ kein Körper

Regelmäßige Fünfecke (Pentagon) als Seitenflächen: :
      3 Pentagon in einem Eckpunkt: 3⋅108° Raumwinkelsumme ⇒ 324° < 360° ⇒ Dodekaeder
      4 Pentagon in einem Eckpunkt: 4⋅108° Raumwinkelsumme ⇒ 424° > 360° ⇒ kein Körper

Regelmäßige Sechsecke als Seitenflächen: :
      3 Sechsecke in einem Eckpunkt: 3⋅120° Raumwinkelsumme ⇒ 360° = 360° ⇒ kein Körper

Es gibt nur die fünf Platonischen Körper.

(siehe auch Euklid: Die Elemente, Buch XIII, §18a, S. 412.)