Die Quadratur des Kreises

Die Quadratur das Kreises ist das sprichwörtliche Synonym für die Unmöglichkeit eines Unterfanges schlechthin. Aus mathematischer Sicht ist dies aber nur zutreffend in Bezug auf das Konstruieren mit Zirkel und Lineal, das als einschränkende Bedingung die Unmöglichkeit erst begründet.

Aufgabe: Konstruiere zu einem gegebenen Kreis in endlich vielen Schritten ein Quadrat mit gleichem Flächeninhalt!

Letztlich soll also zu einem gegebenen Kreisradius $r$ durch endlich viele Konstruktionsschritte die Seitenlänge $a$ eines Quadrates konstruiert werden. Die Aufstellung einer Gleichung führt in Anlehnung an die algebraische Formulierung der Konstruktionen mit Zirkel und Lineal zur Einsicht, dass diese Aufgabe konstruktiv nicht lösbar ist.

$$\begin{array}{ccc}{A}_{\mathrm{Quadrat}}& =& A_{\mathrm{Kreis}}\\ a^2& =& \pi ·r^2\\ a& =& \sqrt{\pi }·r\end{array}$ $$$

Ferdinand von Lindemann wies im Jahr 1882 die Transzendenz der Kreiszahl $\pi$ nach, d.h. dass $\pi$ nicht als Nullstelle eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten darstellbar ist (siehe auch Eugen Beutel: Die Quadratur des Kreises, S. 56 ff.). Daraus lässt sich die Unmöglichkeit der Konstruierbarkeit der Quadratur des Kreises mit Zirkel und Lineal direkt folgern.