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Die Dreiteilung des Winkels

Während die Zweiteilung eines gegebenen Winkels auf konstruktivem Wege mit Zirkel und Lineal sehr einfach bewältigt werden kann, stellt sich das Problem der Dreiteilung - abgesehen von ausgezeichneten Winkeln - als unlösbar für die elementaren Konstruktionsschritte mit Zirkel und Lineal heraus.

Aufgabe:
Teile einen beliebigen Winkel durch endlich viele Konstruktionsschritte in drei gleich große Winkel.
Dreiteilung des Winkels

Die algebraische Formulierung des Konstruktionsproblems führt zu einer Gleichung, deren strukturelle Analyse weitere Auskunft über die Konstruierbarkeit der Dreiteilung geben wird. Dabei wird auf die Eineindeutigkeit der Zuordnung eines Winkels zu seinem Kosinus zurückgegriffen: Ist die Größe eines Winkels bekannt, lässt sich am Einheitskreis eindeutig die Länge des Kosinus des Winkels konstruieren und vice versa (Abbildung).

Kosinus eines Winkels
Abbildung: Sinus und Kosinus eines Winkels am Einheitskreis.

Diese eineindeutige Zuordnung ermöglicht es, von der Bestimmung eines Winkels zur Bestimmung des Kosinus des Winkels überzugehen. Im Folgenden bezeichne 3φ den Winkel, der gedrittelt werden soll. Somit ist φ derjenige Winkel, dessen Größe bei gegebenen 3φ zu bestimmen ist.

Ausgehend von den aus der Trigonometrie bekannten Zusammenhängen
(1)    sinα+β = sinαcosβ + cosαsinβ      mit dem Spezialfall      (1')    sin2α =sinα+α = 2sinαcosα
(2)    cosα+β = cosαcosβ - sinαsinβ      mit dem Spezialfall      (2')    cos2α =cosα+α = cos2α-sin2α
(3)    1 = sin2α + cos2α

folgt bei gegebenem Winkel 3φ:
cos3φ = cosφ+2φ  
cos3φ = cosφcos2φ - sinφsin2φ nach (2)
cos3φ = cosφ cos2φ-sin2φ -sinφ 2sinφcosφ nach (2') und (1')
cos3φ = cos3φ - sin2φcosφ - 2sin2φcosφ nach Ausmultiplizieren
cos3φ = cos3φ - 3sin2φcosφ nach Zusammenfassen
cos3φ = cos3φ - 31-cos2φ cosφ nach (3)
cos3φ = 4cos3φ - 3cosφ nach Zusammenfassen
0 = 4cos3φ - 3cosφ - cos3φ nach Umsortieren.

Mit der gegebenen Größe 3φ ist auch die Größe cos3φ bekannt. Somit liegt eine kubische Gleichung vor, die sogenannte Dreiteilungsgleichung, deren Auflösung zu den Werten cosφ führt. Aus den Lösungen für cosφ können Werte des Drittelwinkels φ bestimmt werden.

Die soeben angeführte und eine weitere Variante der Herleitung einer Dreiteilungsgleichung (über Ähnlichkeitsbetrachtungen am Einheitskreis) finden sich bei Walter Breidenbach: Die Dreiteilung des Winkels, S. 11 f.
Eine Herleitung über Lösbarkeitsbetrachtungen einer Gleichung dritten Grades der Form x3=λ ist nachlesbar bei Felix Klein: Vorträge über ausgewählte Fragen der Elementargeometrie, S. 10 ff.

Die algebraische Betrachtung der Lösbarkeit der Dreiteilungsgleichung führt dann direkt zur Frage der Konstruierbarkeit der Lösungen, mithin zur Frage nach der Möglichkeit oder Unmöglichkeit der konstruktiven Dreiteilung des gegebenen Winkels.

Von großem Einfluss für die Konstruierbarkeit des Drittelwinkels ist die Größe des Ausgangswinkels, da diese als Absolutglied in der Dreiteilungsgleichung maßgeblich über die Art der Lösungen entscheidet. Besitzt die Dreiteilungsgleichung für einen gegebenen Ausgangswinkel wenigstens eine reelle Lösung, die durch rationalen Operationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) oder durch das Ziehen von Quadratwurzeln herstellbar ist, so ist diese Lösung konstruierbar.

Breidenbach hat als Kriterium formuliert, dass nur bei der Existenz einer rationalen Lösung der Dreiteilungsgleichung die Dreiteilung des Winkels konstruktiv erfolgen kann. Liegt eine solche Lösung nicht vor, ist das Problem der Dreiteilung konstruktiv mit Zirkel und Lineal unlösbar. (siehe Walter Breidenbach: Die Dreiteilung des Winkels, S. 17 ff.)



  Bert Xylander - 30. Dezember 2015
 
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