Die Verdopplung des Würfels (Das Delische Problem)

Die Aufgabe der Verdopplung des Würfels wird einer Sage nach auch als Delisches Problem bezeichnet: ein Orakelspruch gab den Deliern den Auftrag, den würfelförmigen Altar des Apollon in doppelter Größe zu errichten, um so die herrschende Pestepedemie zu beenden. (siehe auch: Bartel Leendert van der Waerden: Erwachende Wissenschaft, S. 262 ff.)

Aufgabe: Konstruiere aus der Kantenlänge eines gegebenen Würfels in endlich vielen Schritten die Kantenlänge eines Würfels mit dem doppelten Volumen.

Sei $a$ die Kantenlänge des kleineren Würfels mit $V_{\mathrm{klein}}=a^3$ und $b$ die Kantenlänge des großen Würfels mit dem doppelten Volumen $V_{\mathrm{groß}}=b^3$ . Dann lässt sich die Konstruktionsaufgabe in der folgenden Gleichung erfassen.

$$\begin{array}{ccc}{V}_{\mathrm{groß}}& =& 2·V_{\mathrm{klein}}\\ b^3& =& 2·a^3\\ b& =& \sqrt[3]{2}·a\end{array}$ $$$

In dem irrationalen Ausdruck $\sqrt[3]{2}$ manifestiert sich die Unmöglichkeit, dieses Problem geometrisch mit Zirkel und Lineal zu lösen: die Wurzel $\sqrt[3]{2}$ kann als Ergebnis einer Polynomgleichung nicht durch die rationalen Operationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division) oder das Ziehen von Quadratwurzeln eindeutig bestimmt werden. (siehe auch Felix Klein: Vorträge über ausgewählte Fragen der Elementargeometrie, S. 10 ff.)