Analytische Beschreibung

Flächen zweiter Ordnung sind solche Punktmengen $\left\{\left(x|y|z\right)\right\}$ des Raumes, deren Koordinaten der allgemeinen algebraischen Gleichung zweiten Grades genügen:

$$A·x^2+B·y^2+C·z^2+D·xy+E·xz+F·yz+G·x+H·y+I·z+J=0$$

(1)

In dieser Gleichung dürfen die ersten sechs Koeffizienten $A$ bis $F$ nicht sämtlich gleich Null sein, da anderenfalls eine lineare Funktion $G·x+H·y+I·z+J=0$ der drei Koordinatenvariablen vorliegt, d.h. eine Ebene (eine Fläche erster Ordnung).

Im Regelfall lässt sich die Flächengleichung einer Fläche zweiter Ordnung durch Koordinatensystemtransformationen vereinfachen. Durch Verschiebung des Koordinatensystems in das Zentrum der Fläche werden die linearen Glieder der Gleichung eliminiert. Durch Drehung des Koordinatensystems entlang der Hauptachsen entstehen letztlich die beiden möglichen Normalformen einer Fläche zweiter Ordnung:

Normalform einer singulären Fläche	$$a·x^2+b·y^2+c·z=0$$	(2)
Normalform einer regulären Fläche	$$a·x^2+b·y^2+c·z^2+d=0$$	(3)

Dabei wird eine Fläche als reguläre Fläche bezeichnet, wenn sie ein Symmetriezentrum (Inversionszentrum) aufweist, d.h. mit jedem Punkt $P\left(x|y|z\right)$ der Fläche gehört auch der Spiegelpunkt ${\displaystyle \stackrel{-}{P}\left(-x|-y|-z\right)}$ zur Fläche. Besitzt eine Fläche zweiter Ordnung kein Symmetriezentrumzentrum, wird sie singuläre Fläche genannt.

Zur Vereinfachung werden in den Normalformen (2) und (3) die Koordinatenvariablen ebenfalls mit $\left(x|y|z\right)$ bezeichnet, auch wenn diese aus der Gleichung (1) erst durch Koordinatentransformationen hervorgehen.

Eine Koordinatensystemtransformation lässt sich für jede Fläche zweiter Ordnung durchführen, so dass eine Klassifikation der möglichen Flächen auf die Untersuchung der Koeffizienten in den beiden Normalformen beschränkt werden kann.