Klassifikation der Flächen

Aus der Betrachtung der Koeffizienten in den beiden Normalformen der Flächen zweiter Ordnung lassen sich 17 mögliche Fälle ableiten. Diese Fälle erfassen alle möglichen geometrischen Gebilde, die als Flächen zweiter Ordnung auftreten können. Drei dieser Fälle haben keine reellwertige Lösung und stellen deshalb auch kein geometrisches Gebilde dar. Weitere neun Fälle werden als uneigentliche Flächen zweiter Ordnung (oder auch als Entartungsfälle) bezeichnet. Fünf Fälle beschreiben echte Flächen zweiter Ordnung.

Singuläre Flächen zweiter Ordnung (Flächen ohne Symmetriezentrum)

Untersucht werden die Koeffizienten der Normalform $a \cdot x^{2} + b \cdot y^{2} + c \cdot z = 0$ .

Koeffizienten Beispielgleichung Geometrisches Gebilde

$a > 0$ $b > 0$ $c \neq 0$ $2 x^{2} + 3 y^{3} - z = 0$ Elliptisches Paraboloid (echte Fläche)

$a > 0$ $b < 0$ $c \neq 0$ $2 x^{2} - y^{2} + 2 z = 0$ Hyperbolisches Paraboloid (echte Fläche)

$a > 0$ $b = 0$ $c \neq 0$ $2 x^{2} - 3 z = 0$ Parabolischer Zylinder (uneigentliche Fläche)

Reguläre Flächen zweiter Ordnung (Flächen mit Symmetriezentrum)

Untersucht werden die Koeffizienten der Normalform $a \cdot x^{2} + b \cdot y^{2} + c \cdot z^{2} + d = 0$ .

Koeffizienten Beispielgleichung Geometrisches Gebilde

$a > 0$ $b > 0$ $c > 0$ $d < 0$ $2 x^{2} + 3 y^{2} + z^{2} - 4 = 0$ Ellipsoid (echte Fläche)

$a > 0$ $b > 0$ $c > 0$ $d > 0$ $2 x^{2} + 3 y^{2} + z^{2} + 1 = 0$ keine Fläche

$a > 0$ $b > 0$ $c > 0$ $d = 0$ $2 x^{2} + 3 y^{2} + z^{2} = 0$ Nullpunkt $(0| 0| 0)$ (uneigentliche Fläche)

$a > 0$ $b > 0$ $c < 0$ $d < 0$ $2 x^{2} + y^{2} - 3 z^{2} - 4 = 0$ Einschaliges Hyperboloid (echte Fläche)

$a > 0$ $b > 0$ $c < 0$ $d > 0$ $2 x^{2} + y^{2} - 3 z^{2} + 1 = 0$ Zweischaliges Hyperboloid (echte Fläche)

$a > 0$ $b > 0$ $c < 0$ $d = 0$ $2 x^{2} + y^{2} - 3 z^{2} = 0$ Elliptischer Doppelkegel (uneigentliche Fläche)

$a > 0$ $b > 0$ $c = 0$ $d < 0$ $2 x^{2} + 4 y^{2} - 3 = 0$ Elliptischer Zylinder (uneigentliche Fläche)

$a > 0$ $b > 0$ $c = 0$ $d > 0$ $2 x^{2} + 4 y^{2} + 2 = 0$ keine Fläche

$a > 0$ $b > 0$ $c = 0$ $d = 0$ $2 x^{2} + 4 y^{2} = 0$ Nullpunkt $(0| 0| 0)$ (uneigentliche Fläche)

$a > 0$ $b < 0$ $c = 0$ $d \neq 0$ $4 x^{2} - 2 y^{2} - 3 = 0$ Hyperbolischer Zylinder (uneigentliche Fläche)

$a > 0$ $b < 0$ $c = 0$ $d = 0$ $4 x^{2} - 2 y^{2} = 0$ Schnittebenenpaar (uneigentliche Fläche)

$a > 0$ $b = 0$ $c = 0$ $d < 0$ $2 x^{2} - 4 = 0$ Paralleles Ebenenpaar (uneigentliche Fläche)

$a > 0$ $b = 0$ $c = 0$ $d > 0$ $2 x^{2} + 3 = 0$ keine Fläche

$a > 0$ $b = 0$ $c = 0$ $d = 0$ $2 x^{2} = 0$ Koordinatenebene (uneigentliche Fläche)

Bert Xylander - 21. Dezember 2016
'Flächen zweiter Ordnung'