Transformation in die Normalform

An einem konkreten Beispiel eines einschaligen Hyperboloids mit der Flächengleichung

$$3x^2-2y^2+3z^2+4xz+4y-12=0$$

soll nachvollzogen werden, wie die Gleichung einer Fläche zweiter Ordnung in die Normalform transformiert werden kann. Die Normalform dieses einschaligen Hyperboloids lautet

$$5{x^{\prime \prime }}^2+{y^{\prime \prime }}^2-2{z^{\prime \prime }}^2-10=0\text{.}$$

Die Transformation setzt sich zusammen aus einer Drehung um die Hauptachsen der Fläche und nachfolgender Verschiebung der Fläche in den Koordinatenursprung. Die mit den Transformationen verbunden geometrischen Operationen im dreidimensionalen Raum lassen sich in besonders geeigneter Form mit Hilfe der Matrizenrechnung mathematisch beschreiben. Zu diesem Zweck wird zuerst eine Matrizenschreibweise der Flächengleichung eingeführt.