Verschiebung in den Flächenmittelpunkt

In der durch die Drehung gewonnenen transformierten Flächengleichung zeugt ein lineares Glied davon, dass der Flächenmittelpunkt des einschaligen Hyperboloiden nicht im Koordinatenursprung liegt.

$$5{x^{\prime }}^2+{y^{\prime }}^2-2{z^{\prime }}^2+4z^{\prime }-12=0$$

Durch eine Verschiebung des Koordinatensystems in der Art, dass der Ursprung des neuen Koordinatensystems im Flächenmittelpunkt (im Symmetriezentrum) liegt, entsteht letztlich die endgültige Normalform der Fläche zweiter Ordnung.

Die Verschiebung lässt sich mathematisch in der Flächengleichung durch eine quadratische Ergänzung realisieren.

$$5{x^{\prime }}^2+{y^{\prime }}^2-2{\left(z^{\prime }-1\right)}^2-10=0$$

Es entsteht eine Koordinatentransformation der Koordinaten $\left(x^{\prime }|y^{\prime }|z^{\prime }\right)$ in die neuen Koordinaten $\left(x^{\prime \prime }|y^{\prime \prime }|z^{\prime \prime }\right)$:

$$x^{\prime }=x^{\prime \prime }$ $$$

$$y^{\prime }=y^{\prime \prime }$ $$$

$$z^{\prime }=z^{\prime \prime }+1$ $$$

Damit folgt die Flächengleichung des einschaligen Hyperbolioden in der Normalform:

$$5{x^{\prime \prime }}^2+{y^{\prime \prime }}^2-2{z^{\prime \prime }}^2-10=0\text{.}$$