Eine Klassifikation der Kurven zweiter Ordnung

Die aus der allgemeinen Kegelschnittgleichung gewonnenen zentralsymmetrischen Kegelschnittgleichung und nichtzentralsymmetrische Kegelschnittgleichung werden hinsichtlich ihrer Koeffizienten systematisch betrachtet und es werden die entsprechenden Kurven zweiter Ordnung in ihrer geometrischen Ausprägung klassifiziert. Insgesamt lassen sich 9 mögliche Fälle unterscheiden. Sechs dieser Fälle sind Kurven, die als entartete Kegelschnitte bezeichnet werden, davon haben zwei Kurven keine reellwertige Lösung und stellen deshalb kein geometrisches Gebilde dar. In drei Fällen liegen mit der Ellipse, der Hyperbel und der Parabel echte Kegelschnitte vor.

Kegelschnitte mit Symmetriezentrum

Untersucht werden die Koeffizienten der zentralsymmetrischen Kegelschnittgleichung ${\lambda }_1·x^2+{\lambda }_2·y^2+\kappa =0$.

Koeffizienten			Beispielgleichung	Geometrisches Gebilde
${\lambda }_1>0$	${\lambda }_2>0$	$\kappa <0$	$2x^2+3y^2-7=0$	Ellipse
${\lambda }_1>0$	${\lambda }_2>0$	$\kappa >0$	$3x^2+5y^2-2=0$	leere Menge
${\lambda }_1>0$	${\lambda }_2>0$	$\kappa =0$	$3x^2+5y^2=0$	Punkt
${\lambda }_1>0$	${\lambda }_2<0$	$\kappa \ne 0$	$4x^2-3y^2-2=0$	Hyperbel
${\lambda }_1>0$	${\lambda }_2<0$	$\kappa =0$	$2x^2-4y^2=0$	Paar sich schneidender Geraden

Kegelschnitte ohne Symmetriezentrum

Untersucht werden die Koeffizienten der nichtzentralsymmetrischen Kegelschnittgleichung $\lambda ·y^2+\epsilon ·x+\kappa =0$.

Koeffizienten			Beispielgleichung	Geometrisches Gebilde
$\lambda >0$	$\epsilon \ne 0$	$\kappa$ beliebig	$3y^2-2x=0$	Parabel
$\lambda >0$	$\epsilon =0$	$\kappa <0$	$5y^2-7=0$	Paar paralleler Geraden
$\lambda >0$	$\epsilon =0$	$\kappa =0$	$2y^2=0$	Gerade
$\lambda >0$	$\epsilon =0$	$\kappa >0$	$7y^2+5=0$	leere Menge

Die vorliegende Kurvenklassifikation weist nach, dass tatsächlich alle Lösungen der allgemeinen Gleichung zweiten Grades Kegelschnitte sind. Die entarteten Kegelschnitte als Lösungen der Gleichung sind dabei Spezialfälle. So ergibt sich das Paar paralleler Geraden in dem besonderen Fall, dass der Doppelkegel mit seiner Spitze im Unendlichen liegt, d.h. dass er zum Zylinder entartet. In der weiteren Untersuchung der Kegelschnitte wird aber im Allgemeinen nicht weiter auf diese Spezialfälle eingegangen.