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Die Hyperbel

Wird ein gerader Doppelkegel durch eine Ebene derart geschnitten, dass die Ebene die Kegelspitze nicht enthält, dass die Ebene nicht senkrecht zur Kegelachse und nicht parallel zu einer Mantellinie des Kegels verläuft und dass Mantellinien auf beiden Seiten der Kegelspitze geschnitten werden, entsteht eine Hyperbel als Schnittfigur. Diese ebene Schnittfigur besteht dabei aus zwei symmetrischen, sich ins Unendliche erstreckenden Hyperbelästen (Abbildung 13).

Die Bezeichnung des Kegelschnittes als Hyperbel geht auf den griechischen Mathematiker Apollonius von Perge (262 - ca. 190 v.u.z.) zurück, der aus Flächenverhältnissen an der Figur den Begriff hýperbolé (Überschuss) ableitete
(Apollonius: Lehrsatz 12, van der Waerden: S. 410 f.).

Hyperbel
Abbildung 13: Hyperbel.

Unabhängig von der Eigenschaft, als Schnittfigur am Doppelkegel zu entstehen, lässt sich die Hyperbel geometrisch als Punktmenge einer Ebene definieren, wobei sich die Punkte durch eine besondere Lage hinsichtlich zweier Brennpunkte bzw. hinsichtlich eines Brennpunktes und einer Leitlinie auszeichnen. Der Zusammenhang zwischen dem Kegelschnitt und der geometrischen Figur in der Ebene kann hergestellt werden mit Hilfe der Dandelinschen Kugeln.

Aus der geometrischen Definition folgt die analytische Beschreibung der Hyperbel als Kurve zweiter Ordnung durch die Betrachtung der ebenen Figur in einem kartesischen Koordinatensystem.

Eine besondere Rolle in der Betrachtung der Hyperbel spielen die Asymptoten, denen sich die Hyperbeläste fortwährend annähern. Diese führen zudem zu einer Möglichkeit, die Halbachsen als wesentliche Parameter der Hyperbelgleichung in einem Koordinatensystem darzustellen.



  Bert Xylander - 7. September 2017
 
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