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Kegelschnitte als Kurven zweiter Ordnung
Kegelschnitte lassen sich durch algebraische Gleichungen zweiten Grades beschreiben und werden deshalb als Kurven zweiter
Ordnung bezeichnet.
Eine Kurve zweiter Ordnung in der Ebene ist eine Punktmenge, deren Koordinaten die allgemeine Gleichung
erfüllen. Eine solche Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung wird auch als Quadrik bezeichnet.
Es lässt sich zeigen, dass die allgemeine Gleichung zweiten Grades stets eine Gleichung eines Kegelschnittes darstellt.
Der Nachweis erfolgt in zwei Schritten durch eine Transformation des Koordinatensystems.
Dazu wird im ersten Schritt das Koordinatensystem so gedreht,
dass die Koordinatenachsen an den Hauptachsen des Kegelschnittes ausgerichtet werden.
Hinsichtlich der allgemeinen Gleichung zweiten Grades beseitigt die Drehung das gemischte Glied: es entsteht
die sogenannte allgemeine Kegelschnittgleichung.
Aus der allgemeinen Kegelschnittgleichung können im zweiten Transformtionsschritt durch eine Verschiebungstransformation
die linearen Glieder eliminiert werden. Geometrisch bedeutet dies, dass der Ursprung des Koordintensystems
in den Mittelpunkt der Kegelschnittfläche (bei der Ellipse und der Hyperbel) bzw. in den Scheitelpunkt des Kegelschnittes
(bei der Parabel) verschoben wird. Im Ergebnis dieser Verschiebung entstehen zwei mögliche Kegelschnittgleichungen,
die als zentralsymmetrische Kegelschnittgleichung und nichtzentralsymmetrische Kegelschnittgleichung bezeichnet werden.
Die Bezeichnung resultiert aus der Existenz eines Symmtriezentrums für die den Gleichungen
entsprechenden Kurven zweiter Ordnung.
Die systematischen Betrachtung der zentralsymmetrischen und nichtzentralsymmetrischen
Kegelschnittgleichungen führt dann zu einer Klassifikation aller möglichen Fälle der Kurven zweiter Ordnung, die
sich tatsächlich als echte Kegelschnitte (Ellipse, Hyperbel, Parabel) bzw. als entartete Kegelschnitte erweisen.
Hierfür wird ein Übergang hergestellt von den allgemeinen Kurvengleichungen der Ellipse, der Hyperbel und der Parabel, die
letztlich mit den aus den geometrischen Eigenschaften abgeleiteten Normalformen der
Kegelschnittgleichungen korrespondieren.
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