Transformation durch Drehung

Die Anwendung der Transformationsgleichungen

$$x=\stackrel{\_}{x}·cos\alpha -\stackrel{\_}{y}·sin\alpha $ $$$

$$y=\stackrel{\_}{x}·sin\alpha -\stackrel{\_}{y}·cos\alpha $ $$$

auf die allgemeine Gleichung zweiten Grades führt zu einer Gleichung zweiten Grades, in der das gemischte Glied verschwindet. Dazu wird der Drehwinkel $\alpha$ aus den Koeffizienten der allgemeinen Gleichung mit $tan2\alpha =\frac{B}{A-C}$ bestimmt und im Fall $A=C$ wird $\alpha =45°$ gesetzt.

Aus der Gleichung

$$A·x^2+B·xy+C·y^2+D·x+E·y+F=0$$

entsteht durch Einsetzen der Transformationsgleichungen, Ausmultiplizieren, Zusammenfassen und Ordnen der neuen Gleichung nach Koordinatenpotenzen die Gleichung

$${\lambda }_1·{\stackrel{\_}{x}}^2+\delta ·\stackrel{\_}{x}\stackrel{\_}{y}+{\lambda }_2·{\stackrel{\_}{y}}^2+{\epsilon }_1·\stackrel{\_}{x}+{\epsilon }_2·\stackrel{\_}{y}+\mu =0\text{.}$$

Die Koeffizienten ergeben sich dabei mit

$\begin{array}{ccl}{\lambda }_1& =& A·{cos}^2\alpha +B·sin\alpha cos\alpha +C·{sin}^2\alpha \\ \delta & =& -2A·sin\alpha cos\alpha +2C·sin\alpha cos\alpha +B·{cos}^2\alpha -B·{sin}^2\alpha \\ {\lambda }_2& =& A·{sin}^2\alpha -B·sin\alpha cos\alpha +C·{cos}^2\alpha \\ {\epsilon }_1& =& D·cos\alpha +E·sin\alpha \\ {\epsilon }_2& =& -D·sin\alpha +E·cos\alpha \\ \mu & =& F\text{.}\end{array}$

Mit Hilfe der beiden Additionstheoreme $sin2\alpha =2sin\alpha cos\alpha$ und $cos2\alpha =2{cos}^2-1$, des trigonometrischen Pythagoras ${sin}^2\alpha +{cos}^2\alpha =1$ sowie mit der aus der obigen Festlegung des Drehwinkels $\alpha$ resultierenden Entsprechung $(A-C)·sin2\alpha =B·cos2\alpha$ lässt sich der Koeffizient $\delta$ wie folgt spezifizieren:

$\begin{array}{ccl}\delta & =& -2A·sin\alpha cos\alpha +2C·sin\alpha cos\alpha +B·{cos}^2\alpha -B·{sin}^2\alpha \\ & =& -A·sin2\alpha +C·sin2\alpha +B·{cos}^2\alpha -B·(1-{cos}^2\alpha )\\ & =& -A·sin2\alpha +C·sin2\alpha +2B·{cos}^2\alpha -B\\ & =& (C-A)·sin2\alpha +B·(2{cos}^2\alpha -1)\\ & =& -(A-C)·sin2\alpha +B·cos2\alpha \text{.}\\ & =& -B·cos2\alpha +B·cos2\alpha \\ & =& 0\end{array}$

Im Fall $A=C$ ergibt sich aus $\alpha =45°$ ebenfalls $\delta =0$, wie leicht zu ersehen ist.

Als Ergebnis der Transformation entsteht somit eine Koordinatengleichung, die nur aus quadratischen und linearen Gliedern sowie einem Absolutglied besteht (der besseren Lesbarkeit geschuldet, wird ohne Beschränkung der Allgemeingültigkeit die übliche Koordinatenschreibweise verwendet):

$${\lambda }_1·x^2+{\lambda }_2·y^2+{\epsilon }_1·x+{\epsilon }_2·y+\mu =0\text{.}$$

Diese Gleichung wird als allgemeine Kegelschnittgleichung bezeichnet und führt anhand der Betrachtung der Koeffizienten zu einer Klassifizierung aller möglichen Ausprägungen der Gleichung.