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Transformation durch Verschiebung

Jede Gleichung zweiten Grades kann in eine allgemeine Kegelschnittgleichung transformiert werden. In der Diskussion der allgemeinen Kegelschnittgleichung

λ1·x2 + λ2·y2 + ε1·x + ε2·y + μ=0.

sind die Werte der Koeffizienten der quadratischen Glieder λ1 und λ2 maßgeblich.

Sind beide Koeffizienten verschieden von 0 (gilt also λ1·λ10), so können beide linearen Glieder in der Gleichung durch eine quadratische Ergänzung eliminiert werden. Nimmt einer der beiden Koeffizienten den Wert 0 an (λ1·λ1=0), so kann das dem verbleibenden quadratischen Glied entsprechende lineare Glied durch eine quadratische Ergänzung eliminiert werden, während das andere lineare Glied in der Gleichung verbleibt. In der geometrischen Betrachtung entspricht diese Reduzierung der Gleichung um die linearen Glieder einer Verschiebung der Kurve zweiter Ordnung im Koordinatensystem.

Somit ergeben sich zwei mögliche Gleichungsformen, die als zentralsymmetrische Kegelschnittgleichung und als nichtzentralsymmetrische Kegelschnittgleichung bezeichnet werden. Die Bezeichnung erwächst aus der Existenz eines Symmetriezentrums: eine zentralsymmetrische Kurve zweiter Ordnung weist ein Symmetriezentrum (Inversionszentrum) auf, eine nichtzentralsymmetrische Kurve zweiter Ordnung besitzt kein Symmetriezentrum.

Die zentralsymmetrische Kegelschnittgleichung

Im Fall λ1·λ20 wird in der allgemeine Kegelschnittgleichung die Summe λ1·x2 + ε1·x = λ1 · ( x2 + ε1λ1·x) ergänzt um den Summanden ε14λ1 und die Summe λ2·y2 + ε2·y = λ21 · ( y2 + ε2λ2·y) wird ergänzt um den Summanden ε24λ2 .

Diese beiden Summen werden zum Quadrat zusammengefasst und es entsteht durch Ausgleich der beiden Ergänzungen die Kegelschnittgleichung

λ1· (x+ε12λ1)2 + (y+ε22λ2)2 - ε14λ1 - ε24λ2 + μ=0.

Diese Gleichung kann vereinfacht werden durch eine Translationstransformation der Koordinaten und eine Ersetzung des allgemeinen Gliedes in der Form

x=x_- ε12λ1 y=y_- ε22λ2 κ = -ε14λ1 -ε24λ2 +μ ,

es entsteht die zentralsymmetrische Kegelschnittgleichung λ1·x_2 + λ2·y_2 + κ=0 , in der die Zentralsymmetrie (mit jedem Punkt x|y gehört auch der Spiegelpunkt -x|-y zur Kurve) deutlich ablesbar ist.

Die nichtzentralsymmetrische Kegelschnittgleichung

Im Fall λ1=0 und λ20 wird in der allgemeine Kegelschnittgleichung die Summe λ2·y2 + ε2·y = λ2 · ( y2 + ε2λ2·y) ergänzt um den Summanden ε24λ2 .

Diese Summe wird zum Quadrat zusammengefasst und es entsteht durch Ausgleich der Ergänzung die Kegelschnittgleichung

(y+ε22λ2)2 + ε1·x - ε24λ2 + μ=0.

Diese Gleichung kann vereinfacht werden durch eine Translationstransformation der Koordinaten, eine Ersetzung des allgemeinen Gliedes und eine Umbennenung der Koeffizienten in der Form

x=x_ y=y_- ε22λ2 κ = -ε24λ2 +μ λ=λ2 ε=ε1 .

Somit entsteht die nichtzentralsymmetrische Kegelschnittgleichung λ·y_2 + ε·x_ + κ=0 .

Der Fall λ10 und λ2=0 wird analog behandelt: es entsteht die nichtzentralsymmetrische Kegelschnittgleichung, in der x_ und y_ vertauscht sind.



  Bert Xylander - 7. September 2017
 
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