Transformation durch Verschiebung
Jede Gleichung zweiten Grades kann in eine allgemeine Kegelschnittgleichung transformiert werden.
In der Diskussion der allgemeinen Kegelschnittgleichung
sind die Werte der Koeffizienten der quadratischen Glieder und
maßgeblich.
Sind beide Koeffizienten verschieden von (gilt also
), so können beide linearen Glieder
in der Gleichung durch eine quadratische Ergänzung eliminiert werden. Nimmt einer der beiden Koeffizienten den Wert
an (),
so kann das dem verbleibenden quadratischen Glied entsprechende lineare Glied durch eine quadratische Ergänzung
eliminiert werden, während das andere lineare Glied in der Gleichung verbleibt. In der geometrischen Betrachtung entspricht
diese Reduzierung der Gleichung um die linearen Glieder einer Verschiebung der Kurve zweiter Ordnung im Koordinatensystem.
Somit ergeben sich zwei mögliche Gleichungsformen, die als zentralsymmetrische Kegelschnittgleichung und als
nichtzentralsymmetrische Kegelschnittgleichung bezeichnet werden. Die Bezeichnung erwächst aus der Existenz eines Symmetriezentrums:
eine zentralsymmetrische Kurve zweiter Ordnung weist ein Symmetriezentrum (Inversionszentrum) auf, eine
nichtzentralsymmetrische Kurve zweiter Ordnung besitzt kein Symmetriezentrum.
Die zentralsymmetrische Kegelschnittgleichung
Im Fall
wird in der allgemeine Kegelschnittgleichung die Summe
ergänzt um den Summanden
und die Summe
wird ergänzt um den Summanden
.
Diese beiden Summen werden zum Quadrat zusammengefasst und es entsteht durch Ausgleich der beiden Ergänzungen die Kegelschnittgleichung
Diese Gleichung kann vereinfacht werden durch eine Translationstransformation der Koordinaten und eine Ersetzung des allgemeinen Gliedes
in der Form
|
y=y_-
ε22λ2
|
κ
=
-ε14λ1
-ε24λ2
+μ
|
,
|
es entsteht die zentralsymmetrische Kegelschnittgleichung
λ1·x_2 +
λ2·y_2 +
κ=0
, in der die Zentralsymmetrie (mit jedem Punkt x|y gehört auch der Spiegelpunkt
-x|-y zur Kurve) deutlich ablesbar ist.
Die nichtzentralsymmetrische Kegelschnittgleichung
Im Fall λ1=0 und λ2≠0
wird in der allgemeine Kegelschnittgleichung die Summe
λ2·y2 +
ε2·y =
λ2 · ( y2 +
ε2λ2·y)
ergänzt um den Summanden
ε24λ2
.
Diese Summe wird zum Quadrat zusammengefasst und es entsteht durch Ausgleich der Ergänzung die Kegelschnittgleichung
(y+ε22λ2)2
+ ε1·x
-
ε24λ2
+
μ=0.
Diese Gleichung kann vereinfacht werden durch eine Translationstransformation der Koordinaten, eine Ersetzung des allgemeinen Gliedes
und eine Umbennenung der Koeffizienten in der Form
x=x_
|
y=y_-
ε22λ2
|
κ
=
-ε24λ2
+μ
|
λ=λ2
|
ε=ε1
.
|
Somit entsteht die nichtzentralsymmetrische Kegelschnittgleichung
λ·y_2 +
ε·x_ +
κ=0
.
Der Fall λ1≠0 und λ2=0
wird analog behandelt: es entsteht die nichtzentralsymmetrische Kegelschnittgleichung, in der
x_ und y_
vertauscht sind.
|