Das Kartesische Blatt

René Descartes (1596-1650) diskutierte 1638 in einem Schriftwechsel mit Marin Mersenne (1588-1648) eine ebene Kurve in der Form einer Schleifenlinie und beschrieb somit erstmals diese Kurve dritter Ordnung. Die darauf zurückzuführende Bezeichnung der Kurve als Kartesisches Blatt ist spätestens seit einem Aufsatz von Jean Baptiste le Rond d'Alembert (1717-1783) allgemein üblich [Loria 1902, S. 54].

Kurvengleichung und Besonderheiten

Die analytische Beschreibung des Kartesischen Blattes erfolgt in einem kartesischen Koordinatensystem durch eine Gleichung dritten Grades. Die Kurve ergibt sich als Menge aller Punkte $P\left(x|y\right)$ der Ebene, deren Koordinaten die Gleichung erfüllen.

Kartesisches Blatt:

${\displaystyle x^3+y^3=pxy}$

In der Darstellung im Koordinatensystem (Abbildung 1) entsteht eine nicht geschlossene Kurve, bestehend aus einer Schleife und zwei unendlichen Zweigen.

Abbildung 1: Kartesisches Blatt im Koordinatensystem.

Der Kurvenparameter $p$ beschreibt die Lage des Scheitelpunktes $S$ im Koordinatensystem, des Endpunktes der längsten Sehne in der Schleife des Kartesischen Blattes: ${\displaystyle S\left(\frac{p}{2}|\frac{p}{2}\right)}$. Die beiden Kurvenäste nähern sich asymptotisch der Gerade $a$ mit der Asymptotengleichung ${\displaystyle y=-x-\frac{p}{3}}$ an (Abbildung 2).

Abbildung 2: Kartesisches Blatt mit Scheitel $S$ und Asymptote $a$.

Der Punkt ${\displaystyle \left(0|0\right)}$ des Kartesischen Blattes ist als Doppelpunkt ein singulärer Punkt der Kurve.