Die Bernoullische Lemniskate
Die Lemniskate wurde von Jakob Bernoulli (1654-1705) gefunden und erstmals beschrieben.
Diese ebene geschlossene Kurve vierter Ordnung stellt dabei einen Spezialfall der Cassinischen Linien
dar [Cantor 1898, S. 212].
Geometrische Konstruktion
Zu einer gegebenen Strecke der Länge mit den beiden Endpunkten und
lässt sich die
Bernoullische Lemniskate geometrisch konstruieren als die Menge aller Punkte einer Ebene,
für die das Produkt der Abstände von den beiden festen Punkten und
konstant ist:
. Die Punkte und
werden als Brennpunkte der Lemniskate bezeichnet (Abbildung 9).
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Abbildung 9: Bernoullische Lemniskate mit Brennpunkten.
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Die Strecke
wird als Achse der Lemniskate bezeichnet. Bemerkenswert ist die Achsenlänge
, die gerade den
konstanten Wert des Abstandsproduktes bestimmt (Abbildung 10).
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Abbildung 10: Bernoullische Lemniskate mit Achse.
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Kurvengleichung und Besonderheiten
Die analytische Beschreibung der Bernoullische Lemniskate in einem kartesischen Koordinatensystem
erfolgt durch eine Gleichung vierten Grades. Die Kurve ergibt sich als Menge aller Punkte
der Ebene,
deren Koordinaten die Gleichung erfüllen (Abbildung 11).
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Bernoullische Lemniskate:
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Abbildung 11: Bernoullische Lemniskate im Koordinatensystem.
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Der Achsenmittelpunkt liegt als Mittelpunkt der Bernoullische Lemniskate im Koordinatenursprung
und ist zudem als Doppelpunkt ein singulärer Punkt der Kurve.
Die Bernoullische Lemniskate als Cassinische Linie
Zu einer gegebenen Strecke mit den Endpunkten und
sowie zu einer gegebenen Strecke der Länge lässt sich eine
Cassinische Linie konstruieren als die Menge aller Punkte einer Ebene,
für die das Produkt der Abstände von den beiden festen Punkten und
konstant ist:
.
Die geometrische Definition der Cassinischen Linien erfolgt somit
unabhängig von der Achsenlänge
und damit in allgemeinerer Form.
Für den Fall wird die Cassinische Linie zur
Bernoullischen Lemniskate.
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