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Die Bernoullische Lemniskate

Die Lemniskate wurde von Jakob Bernoulli (1654-1705) gefunden und erstmals beschrieben. Diese ebene geschlossene Kurve vierter Ordnung stellt dabei einen Spezialfall der Cassinischen Linien dar [Cantor 1898, S. 212].

Geometrische Konstruktion

Zu einer gegebenen Strecke der Länge 2c mit den beiden Endpunkten F1 und F2 lässt sich die Bernoullische Lemniskate geometrisch konstruieren als die Menge aller Punkte P einer Ebene, für die das Produkt der Abstände von den beiden festen Punkten F1 und F2 konstant ist: |PF1_| · |PF2_| = c2 . Die Punkte F1 und F2 werden als Brennpunkte der Lemniskate bezeichnet (Abbildung 9).

Lemniskate
Abbildung 9: Bernoullische Lemniskate mit Brennpunkten.

Die Strecke F1F2_ wird als Achse der Lemniskate bezeichnet. Bemerkenswert ist die Achsenlänge |F1F2_ | = 2c, die gerade den konstanten Wert des Abstandsproduktes c2 bestimmt (Abbildung 10).

Lemniskate
Abbildung 10: Bernoullische Lemniskate mit Achse.

Kurvengleichung und Besonderheiten

Die analytische Beschreibung der Bernoullische Lemniskate in einem kartesischen Koordinatensystem erfolgt durch eine Gleichung vierten Grades. Die Kurve ergibt sich als Menge aller Punkte Pxy der Ebene, deren Koordinaten die Gleichung erfüllen (Abbildung 11).

  Bernoullische Lemniskate:   x2+y22 = 2c2 x2-y2

Lemniskate
Abbildung 11: Bernoullische Lemniskate im Koordinatensystem.

Der Achsenmittelpunkt liegt als Mittelpunkt der Bernoullische Lemniskate im Koordinatenursprung und ist zudem als Doppelpunkt ein singulärer Punkt der Kurve.

Die Bernoullische Lemniskate als Cassinische Linie

Zu einer gegebenen Strecke mit den Endpunkten F1 und F2 sowie zu einer gegebenen Strecke der Länge a lässt sich eine Cassinische Linie konstruieren als die Menge aller Punkte P einer Ebene, für die das Produkt der Abstände von den beiden festen Punkten F1 und F2 konstant ist: |PF1_| · |PF2_| = a2 .

Die geometrische Definition der Cassinischen Linien erfolgt somit unabhängig von der Achsenlänge |F1F2_ | = 2c und damit in allgemeinerer Form. Für den Fall a=c wird die Cassinische Linie zur Bernoullischen Lemniskate.



  Bert Xylander - 31. Dezember 2018
 
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