Ellipse als Kegelschnitt

In der geometrischen Definition wird eine Ellipse als eine Punktmenge der Ebene beschrieben, für deren Punkte die Abstandssumme von zwei Brennpunkten konstant ist. Nunmehr soll nachgewiesen werden, dass eine bestimmte ebene Schnittfigur, die beim Schnitt einer Ebene mit einem geraden Doppelkegel entsteht, ebenfalls eine Ellipse ist. Dazu werden in den Kegel auf eine betimmte Art und Weise zwei Dandelinsche Kugenl (benannt nach Germinal Pierre Dandelin, 1794-1847) einbeschrieben und es wird mit Hilfe der Kugeln gezeigt, dass für alle Punkte der Schnittfigur die Summe der Abstände von zwei festen Punkten konstant ist.

Ein gerader Kreiskegel werde derart von einer Ebene geschnitten, dass diese die Kegelspitze nicht enthält, dass die Ebene nicht senkrecht zur Kegelachse und nicht parallel zu einer Mantellinie des Kegels verläuft und dass alle Mantellinien nur auf einer Seite der Kegelspitze geschnitten werden.

In den Kegel werden zwei Kugeln mit dem Mittelpunkt auf der Kegelachse, bezeichnet als Dandelinsche Kugeln, einbeschrieben. Die erste Kugel wird wird unterhalb der Schnittebene so festgelegt, dass sie die Schnittebene in genau einem Punkt $F_{1}$ und den Kegel auf einer Kreislinie $K_{1}$ berührt. Aufgrund der Symmetrie des geraden Kegels und der Kugel liegt die Kreisebene des horizontalen Berührungskreises senkrecht zur Kegelachse. Die zweite Kugel wird zwischen der Kegelspitze $S$ und der Schnittebene platziert, so dass sie die Schnittebene in genau einem Punkt $F_{2}$ und den Kegel auf einer Kreislinie $K_{2}$ berührt. Auch hier liegt die Kreisebene des horizontalen Berührungskreises senkrecht zur Kegelachse. Beide Kugeln sind durch in ihrem Radius und ihrer Lage eindeutig (Abbildung 11).

Ellipse

Abbildung 11: Dandelinsche Kugeln am Kreiskegel.

Es sei $P$ ein allgemeiner Punkt der Schnittfigur. Der Punkt $P$ liegt auf einer Mantellinie des geraden Kreiskegels. Auf dieser Mantellinie liegen auch ein Berührungspunkt $L_{1}$ des Kreises $K_{1}$ und ein Berührungspunkt $L_{2}$ des Kreises $K_{2}$ (Abbildung 12).

In der genaueren Betrachtung der Strecken $\overline{P F_{1}}$ und $\overline{P L_{1}}$ wird offensichtlich, dass diese Strecken Tangentenabschnitte über derselben Kugel und vom selben Punkt ausgehend sind, es gilt somit für jeden Punkt $P$ der Schnittfigur $| \overline{P F_{1}} | = | \overline{P L_{1}} |$ .

Gleicherart sind die Strecken $\overline{P F_{2}}$ und $\overline{P L_{2}}$ Tangentenabschnitte über derselben Kugel und vom selben Punkt ausgehend. Auch hier gilt somit für jeden Punkt $P$ der Schnittfigur $| \overline{P F_{2}} | = | \overline{P L_{2}} |$ .

Ellipse

Abbildung 12: Ellipse als Kegelschnitt.

Die Parallelität der beiden Kreisebenen $K_{1}$ und $K_{2}$ wegen ihrer Lage senkrecht zur Kegelachse führt dazu, dass die entsprechenden Abschnitte der Mantellinie des geraden Kreiskegels, die Strecken $\overline{L_{1} L_{2}}$ , für jeden Punkt $P$ der Schnittfigur gleichlang sind. Diese konstante Länge kann als $2 a$ definiert werden. Es gilt also $| \overline{L_{1} L_{2}} | = 2 a$ für jeden Punkt $P$ .

Aufgrund der Festlegung der Dandelinschen Kugeln und der Lage von $P$ , $L_{1}$ und $L_{2}$ auf der gleichen Mantellinie gilt auch für jeden Punkt $P$ der Schnittfigur: $| \overline{P L_{1}} | + | \overline{P L_{2}} | = | \overline{L_{1} L_{2}} | = 2 a$ .

Mit den oben betrachteten Tangentenabschnitten und den Beziehungen $| \overline{P F_{1}} | = | \overline{P L_{1}} |$ und $| \overline{P F_{2}} | = | \overline{P L_{2}} |$ folgt dann $| \overline{P F_{1}} | + | \overline{P F_{2}} | = 2 a$ für jeden Punkt $P$ der Schnittfigur.

Die Einbeschreibung der Dandelinschen Kugeln und damit die Festlegung der Punkte $F_{1}$ und $F_{2}$ erfolgte unveränderlich und unabhängig von der Wahl des allgemeinen Punktes $P$ der Schnittfigur. Somit folgt:

Für jeden Punkt $P$ der Schnittfigur ist die Summe der Abstände von zwei gegebenen festen Punkten (Brennpunkten) $F_{1}$ und $F_{2}$ stets konstant, mithin ist der betrachtete Kegelschnitt eine Ellipse.

Bert Xylander - 7. September 2017