Geometrische Definition einer Ellipse mit Leitlinien

Eine zweite geometrische Definition der Ellipse betrachtet den Abstand eines Ellipsenpunktes von einem Brennpunkt und den Abstand des Ellipsenpunktes zu einer festen Linie, der Leitlinie (Abbildung 6).

Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte $P$ einer Ebene, für die das Verhältnis des Abstandes des Punktes $P$ von einem festen Punkt (Brennpunkt) $F$ zu dem Abstand des Punktes $P$ von einer zugehörigen Leitlinie $l$ konstant ist und zwischen $0$ und $1$ liegt.

Abbildung 6: Ellipse mit einem Brennpunkt und zugehöriger Leitlinie.

Sei $r=\left|\stackrel{\_}{P{F}_1}\right|$ und sei $d$ der Abstand des Punktes $P$ zu der Leitlinie $l_1$, dann gilt für alle Ellipsenpunkte ${\displaystyle \frac{r}{d}=\epsilon }$ mit $0<\epsilon <1$.

Der konstante Wert $\epsilon$ wird als numerische Exzentrizität bezeichnet. Die numerische Exzentrizität steht in einem unmittelbarem Zusammenhang zur großen Halbachsenlänge $a$ und zur linearen Exzentrizität $e$ (halber Abstand der beiden Brennpunkte): es gilt ${\displaystyle \epsilon =\frac{e}{a}}$.

Zu jedem Brennpunkt der Ellipse $F_1$ und $F_2$ gibt es eine zugehörige Leitlinie $l_1$ und $l_2$. Die beiden Leitlinien sind orthogonal zur großen Achse der Ellipse und im Abstand ${\displaystyle \frac{a}{\epsilon }}$ vom Mittelpunkt der Ellipse angeordnet (Abbildung 7).

Dabei ist für jeden Ellipsenpunkt das Verhältnis der jeweiligen Abstände ${\displaystyle \frac{r_1}{d_1}}$ und ${\displaystyle \frac{r_2}{d_2}}$ gleich und konstant: ${\displaystyle \frac{r_1}{d_1}=\frac{r_2}{d_2}=\epsilon }$.

Abbildung 7: Ellipse mit Brennpunkten und Leitlinien.

Aus der Leitlinieneigenschaft der Ellipse ${\displaystyle \frac{r_1}{d_1}=\frac{r_2}{d_2}=\epsilon }$ folgt mit $r_1=\epsilon ·d_1$ und $r_2=\epsilon ·d_2$ und mit der Konstanz des Abstandes der beiden Leitlinien ${\displaystyle d_1+d_2=2·\frac{a}{\epsilon }}$ für die Summe der Brennpunktabstände jedes Ellipsenpunktes:

$${\displaystyle \begin{array}{rcl}{r}_1+$ r_2$& =& \epsilon ·d_1+\epsilon ·d_2\\ r_1+$ r_2$& =& \epsilon \left(d_1+d_2\right)\\ r_1+$ r_2$& =& \epsilon \left(2·\frac{a}{\epsilon }\right)\\ r_1+$ r_2$& =& 2a\end{array}}$$

Somit folgt aus der Leitlinieneigenschaft die Brennpunkteigenschaft der Ellipse.