Der elliptische Doppelkegel als uneigentliche Fläche zweiter Ordnung

Die reguläre Fläche zweiter Ordnung, die von der Normalformgleichung   $a\cdot x^2+b\cdot y^2+c\cdot z^2=0$   mit   $a,b>0$, $c<0$   beschrieben wird, stellt die Mantelfläche eines elliptischen Doppelkegels dar (Abbildung).

Mittels Division lässt sich die Gleichung des Doppelkegels umformen in eine Gleichung   $\frac{x^2}{p^2}+\frac{y^2}{q^2}-\frac{z^2}{r^2}=0$.

Wird der Doppelkegel von Ebenen senkrecht zur $z$-Achse geschnitten, entstehen Ellipsen als Schnittfiguren oder auch Kreise (im Fall $p=q$).

Abbildung: Elliptischer Doppelkegel mit der Flächengleichung   $4x^2+2y^2-2y^2=0$