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Ebenenpaare als uneigentliche Flächen zweiter Ordnung

Die analytische Beschreibung einer Ebene im dreidimensionalen Raum lässt sich allgemein durch eine lineare Gleichung der kartesischen Koordinaten der Ebenenpunkte erfassen in der Form   Gx + Hy + Iz + J = 0. Man spricht dann von einer Fläche erster Ordnung.

Dennoch können als "Entartungsfälle" aus einer Flächengleichung zweiter Ordnung eine lineare Gleichung bzw. zwei lineare Gleichungen als analytische Beschreibung einer Ebene bzw. eines Ebenenpaars entstehen. Diese Ebenen als uneigentliche Flächen zweiter Ordnung sind dabei durch speziellen Lagen im Koordinatensystem hinsichtlich der Lage zu den Koordinatenebenen ausgezeichnet.

Mit der Normalform   ax2 + d=0   mit   d<0   wird ein paralleles Ebenenpaar beschrieben (Abbildung 1).

Diese Gleichung kann mittels Division durch d in eine Gleichung   x2p2 =1   umgeformt werden. Die beiden Ebenen liegen dann parallel zur y-z-Ebene im Abstand x = ±p.

Paralleles Ebenenpaar
Abbildung 1: Paralleles Ebenenpaar mit der Flächengleichung   x2 - 4=0

Mit der Normalform   ax2 + by2 =0   mit   a>0, b<0   wird ein sich schneidendes Ebenenpaar beschrieben (Abbildung 2).

Diese Gleichung kann mittels Division umgeformt werden in eine Gleichung   x2p2 - y2q2 =0 . Die beiden Ebenen schneiden die x-y-Ebene senkrecht in den Geraden y = ± qpx .

Schnittebenenpaar
Abbildung 2: Schnittebenenpaar mit der Flächengleichung   4x2 - 2y2 =0



  Bert Xylander - 21. Dezember 2016
  'Flächen zweiter Ordnung'
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