mathematik - physik - informatik Seite zurück   Seite vor  

Drehung um die Hauptachsen

Das Auftreten gemischtquadratischer Glieder in der Flächengleichung

3x2 - 2y2 + 3z2 + 4xz + 4y - 12=0

lässt darauf schließen, dass die Hauptachsen des einschaligen Hyperboloids nicht parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen, d.h. dass die Fläche zweiter Ordnung schräg im Koordinatensystem liegt. Durch eine Drehung um die Hauptachsen lassen sich diese parallel zu den Koordinatenachsen ausrichten und die gemischtquadratischen Glieder aus der Flächengleichung entfernen.

Die erforderlichen Transformationsschritte werden in der Matrizenform der Fläche vollzogen.

xyz 302 0-20 203 xyz + 040 xyz -12=0

Dazu wird aus den Eigenwerten der Formenmatrix die Formenmatrix der Normalform gewonnen und anschließend die Drehmatrix als orthogonale Transformationsmatrix ermittelt. Schließlich ergibt sich eine erste transformierte Flächengleichung, verbunden mit dem Übergang von den Koordinaten xyz zu neuen, transformierten Koordinaten xyz.

Eigenwerte, Eigenwertgleichung und neue Formenmatrix

Aus der Eigenwertgleichung der Formenmatrix   302 0-20 203 - λ00 0λ0 00λ = 0 , die durch Berechnen der Determinante in die charakteristische Gleichung der Matrix (λ+2) (λ2-6λ+5) =0 umgeformt werden kann, gehen als Lösungen die drei Eigenwerte der Formenmatrix A hervor: λ1=5, λ2=1, λ3=-2.

Aus den drei Eigenwerten wird eine Diagonalmatrix E= 500 010 00-2 gebildet, die letztlich die Formenmatrix der Normalform der Fläche zweiter Ordnung ist.

Drehmatrix als orthogonale Transformationsmatrix

Der Übergang von der allgemeinen Gleichung zur Gleichung der Normalform erfolgt durch eine Drehung der gegebenen Fläche um die Hauptachsen, so dass diese parallel zu den Koordinatenachsen ausgerichtet werden. Diese Drehung wird mit einer Transformationsmatrix C beschrieben, die besondere Eigenschaften aufweist: C ist orthogonal und es gilt die Beziehung E=CTAC .

Aus der Gleichung E=CTAC lassen sich die Komponenten der Transformationsmatrix bestimmen. Dazu wird die Gleichung umgeformt mit CCT=I (Orthogonalitätseigenschaft) zu CE=AC .

c11c12c13 c21c22c23 c31c32c33 500 010 00-2 = 302 0-20 203 c11c12c13 c21c22c23 c31c32c33

Aus dieser Matrizengleichung leiten sich drei Vektorgleichungen ab, deren Lösungsvektoren die (auf die Länge 1 normierten) Spaltenvektoren der Transformationsmatrix darstellen.

000 000 000 = 302 0-20 203 c11c12c13 c21c22c23 c31c32c33 - 5c111c12-2c13 5c211c22-2c23 5c311c32-2c33

0 0 0 = 302 0-20 203 c11 c21 c31 - 5c11 5c21 5c31             c11 c21 c31 = 22 1 0 1

0 0 0 = 302 0-20 203 c12 c22 c32 - 1c12 1c22 1c32             c12 c22 c32 = 22 1 0 -1

0 0 0 = 302 0-20 203 c13 c23 c33 - -2c13 -2c23 -2c33             c13 c23 c33 = 0 1 0

Damit resultiert die Transformationsmatrix C mit C= 22220 001 22-220 .

Die Drehung als Koordinatentransformation

Die mit C vermittelte Drehung führt somit zu einer Koordinatentransformation der Form x=Cx mit folgenden Transformationsgleichungen:

x= 22x + 22y y=z z= 22x - 22y

Durch Einsetzen der transformierten Koordinaten in die Gleichung 3x2 - 2y2 + 3z2 + 4xz + 4y - 12=0 ergibt sich eine erste transformierte Gleichung der Fläche zweiter Ordnung.

5x2 + y2 - 2z2 + 4z - 12=0

Das gemischt-quadratische Glied in der allgemeinen Flächengleichung ist durch die Drehung eliminiert. Die Hauptachsen der transformierten Fläche sind somit parallel zu den Koordinatenachsen ausgerichtet. Es verbleibt ein lineares Glied in der Gleichung, das durch eine Verschiebung des Koordinatensystems in den Flächenmittelpunkt getilgt werden kann.



  Bert Xylander - 21. Dezember 2016
  'Flächen zweiter Ordnung'
Seite zurück   Seite vor