Drehung um die Hauptachsen

Das Auftreten gemischtquadratischer Glieder in der Flächengleichung

$$3x^2-2y^2+3z^2+4xz+4y-12=0$$

lässt darauf schließen, dass die Hauptachsen des einschaligen Hyperboloids nicht parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen, d.h. dass die Fläche zweiter Ordnung schräg im Koordinatensystem liegt. Durch eine Drehung um die Hauptachsen lassen sich diese parallel zu den Koordinatenachsen ausrichten und die gemischtquadratischen Glieder aus der Flächengleichung entfernen.

Die erforderlichen Transformationsschritte werden in der Matrizenform der Fläche vollzogen.

$$\left(\begin{array}{ccc}x& y& z\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}3& 0& 2\\ 0& -2& 0\\ 2& 0& 3\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)-12=0$$

Dazu wird aus den Eigenwerten der Formenmatrix die Formenmatrix der Normalform gewonnen und anschließend die Drehmatrix als orthogonale Transformationsmatrix ermittelt. Schließlich ergibt sich eine erste transformierte Flächengleichung, verbunden mit dem Übergang von den Koordinaten $\left(x|y|z\right)$ zu neuen, transformierten Koordinaten $\left(x^{\prime }|y^{\prime }|z^{\prime }\right)$.

Eigenwerte, Eigenwertgleichung und neue Formenmatrix

Aus der Eigenwertgleichung der Formenmatrix   ${\displaystyle \left|\left(\begin{array}{ccc}3& 0& 2\\ 0& -2& 0\\ 2& 0& 3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}\lambda & 0& 0\\ 0& \lambda & 0\\ 0& 0& \lambda \end{array}\right)\right|=0}$, die durch Berechnen der Determinante in die charakteristische Gleichung der Matrix ${\displaystyle (\lambda +2)\cdot ({\lambda }^2-6\lambda +5)=0}$ umgeformt werden kann, gehen als Lösungen die drei Eigenwerte der Formenmatrix $A$ hervor: ${\lambda }_1=5$, ${\lambda }_2=1$, ${\lambda }_3=-2$.

Aus den drei Eigenwerten wird eine Diagonalmatrix ${\displaystyle E=\left(\begin{array}{ccc}5& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& -2\end{array}\right)}$ gebildet, die letztlich die Formenmatrix der Normalform der Fläche zweiter Ordnung ist.

Drehmatrix als orthogonale Transformationsmatrix

Der Übergang von der allgemeinen Gleichung zur Gleichung der Normalform erfolgt durch eine Drehung der gegebenen Fläche um die Hauptachsen, so dass diese parallel zu den Koordinatenachsen ausgerichtet werden. Diese Drehung wird mit einer Transformationsmatrix $C$ beschrieben, die besondere Eigenschaften aufweist: $C$ ist orthogonal und es gilt die Beziehung ${\displaystyle E=C^T\cdot A\cdot C}$.

Aus der Gleichung ${\displaystyle E=C^T\cdot A\cdot C}$ lassen sich die Komponenten der Transformationsmatrix bestimmen. Dazu wird die Gleichung umgeformt mit ${\displaystyle C\cdot C^T=I}$ (Orthogonalitätseigenschaft) zu ${\displaystyle C\cdot E=A\cdot C}$.

$$\left(\begin{array}{ccc}{c}_{11}& c_{12}& c_{13}\\ c_{21}& c_{22}& c_{23}\\ c_{31}& c_{32}& c_{33}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}5& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}3& 0& 2\\ 0& -2& 0\\ 2& 0& 3\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}{c}_{11}& c_{12}& c_{13}\\ c_{21}& c_{22}& c_{23}\\ c_{31}& c_{32}& c_{33}\end{array}\right)$$

Aus dieser Matrizengleichung leiten sich drei Vektorgleichungen ab, deren Lösungsvektoren die (auf die Länge 1 normierten) Spaltenvektoren der Transformationsmatrix darstellen.

$$\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}3& 0& 2\\ 0& -2& 0\\ 2& 0& 3\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}{c}_{11}& c_{12}& c_{13}\\ c_{21}& c_{22}& c_{23}\\ c_{31}& c_{32}& c_{33}\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}5\cdot c_{11}& 1\cdot c_{12}& -2\cdot c_{13}\\ 5\cdot c_{21}& 1\cdot c_{22}& -2\cdot c_{23}\\ 5\cdot c_{31}& 1\cdot c_{32}& -2\cdot c_{33}\end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}3& 0& 2\\ 0& -2& 0\\ 2& 0& 3\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{c}_{11}\\ c_{21}\\ c_{31}\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}5\cdot c_{11}\\ 5\cdot c_{21}\\ 5\cdot c_{31}\end{array}\right)\Rightarrow \left(\begin{array}{c}{c}_{11}\\ c_{21}\\ c_{31}\end{array}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}3& 0& 2\\ 0& -2& 0\\ 2& 0& 3\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{c}_{12}\\ c_{22}\\ c_{32}\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\cdot c_{12}\\ 1\cdot c_{22}\\ 1\cdot c_{32}\end{array}\right)\Rightarrow \left(\begin{array}{c}{c}_{12}\\ c_{22}\\ c_{32}\end{array}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}3& 0& 2\\ 0& -2& 0\\ 2& 0& 3\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{c}_{13}\\ c_{23}\\ c_{33}\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}-2\cdot c_{13}\\ -2\cdot c_{23}\\ -2\cdot c_{33}\end{array}\right)\Rightarrow \left(\begin{array}{c}{c}_{13}\\ c_{23}\\ c_{33}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$$

Damit resultiert die Transformationsmatrix $C$ mit ${\displaystyle C=\left(\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}& 0\\ 0& 0& 1\\ \frac{\sqrt{2}}{2}& -\frac{\sqrt{2}}{2}& 0\end{array}\right)}$.

Die Drehung als Koordinatentransformation

Die mit $C$ vermittelte Drehung führt somit zu einer Koordinatentransformation der Form ${\displaystyle \overrightarrow{x}=C\cdot {\overrightarrow{x}}^{\prime }}$ mit folgenden Transformationsgleichungen:

$$x=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot x^{\prime }+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot y^{\prime }$ $$$

$$y=z^{\prime }$ $$$

$$z=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot x^{\prime }-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot y^{\prime }$ $$$

Durch Einsetzen der transformierten Koordinaten in die Gleichung $$3x^2-2y^2+3z^2+4xz+4y-12=0$$ ergibt sich eine erste transformierte Gleichung der Fläche zweiter Ordnung.

$$5{x^{\prime }}^2+{y^{\prime }}^2-2{z^{\prime }}^2+4z^{\prime }-12=0$$

Das gemischt-quadratische Glied in der allgemeinen Flächengleichung ist durch die Drehung eliminiert. Die Hauptachsen der transformierten Fläche sind somit parallel zu den Koordinatenachsen ausgerichtet. Es verbleibt ein lineares Glied in der Gleichung, das durch eine Verschiebung des Koordinatensystems in den Flächenmittelpunkt getilgt werden kann.