Die Matrizenschreibweise der Flächengleichung

Die Flächengleichung einer Fläche zweiter Ordnung kann auch in Matrizenform geschrieben werden. Diese Schreibweise ermöglicht die Übertragung und Anwendung des Matrizenkalküls auf die Flächen zweiter Ordnung, insbesondere hinsichtlich der Betrachtung orthogonaler Matrizen als Ausdruck geometrischer Bewegungen im dreidimensionalen Raum.

Im konkreten Beispiel des betrachteten einschaligen Hyperboloids mit der allgemeinen Gleichung

$$3x^2-2y^2+3z^2+4xz+4y-12=0$$

lässt sich diese Gleichung folgendermaßen in Matrizenform schreiben:

$$\left(\begin{array}{ccc}x& y& z\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}3& 0& 2\\ 0& -2& 0\\ 2& 0& 3\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)-12=0$$

Der Vektor ${\displaystyle \overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)}$ wird als Koordinatenvektor bezeichnet, die symmetrische Formenmatrix ${\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}3& 0& 2\\ 0& -2& 0\\ 2& 0& 3\end{array}\right)}$ enthält die Koeffizienten der quadratischen und gemischtquadratischen Glieder der Flächengleichung und der Vektor ${\displaystyle $ \overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 0\end{array}\right)$}$ vermittelt die Koeffizienten der linearen Glieder der Flächengleichung.